Derivadas — Cheatsheet

P Potencias

d/dx [c]=0constante

d/dx [x]=1

d/dx [xⁿ]=n · xⁿ⁻¹

d/dx [1/x]=-1/x²

d/dx [√x]=1 / (2√x)

d/dx [x⁻ⁿ]=-n · x⁻ⁿ⁻¹

E Exponenciales y Logaritmos

d/dx [eˣ]=eˣigual a si misma!

d/dx [e^(ax)]=a · e^(ax)

d/dx [aˣ]=aˣ · ln(a)

d/dx [ln(x)]=1/x

d/dx [log_a(x)]=1 / (x · ln(a))

d/dx [ln|x|]=1/x

T Trigonometricas

d/dx [sin(x)]=cos(x)

d/dx [cos(x)]=-sin(x)

d/dx [tan(x)]=sec²(x)

d/dx [cot(x)]=-csc²(x)

d/dx [sec(x)]=sec(x) · tan(x)

d/dx [csc(x)]=-csc(x) · cot(x)

Truco Las "co-" llevan signo negativo: cos, cot, csc

T⁻¹ Trigonometricas Inversas

d/dx [arcsin(x)]=1 / √(1 - x²)

d/dx [arccos(x)]=-1 / √(1 - x²)

d/dx [arctan(x)]=1 / (1 + x²)

d/dx [arccot(x)]=-1 / (1 + x²)

d/dx [arcsec(x)]=1 / (|x|√(x²-1))

H Hiperbolicas

d/dx [sinh(x)]=cosh(x)

d/dx [cosh(x)]=sinh(x)

d/dx [tanh(x)]=sech²(x)

Nota Parecidas a las trig pero sin signos negativos (excepto algunas inversas)

R Reglas de Derivacion

d/dx [c · f] = c · f'

d/dx [f + g] = f' + g'

d/dx [f · g] = f'g + fg'

d/dx [f / g] = (f'g - fg') / g²

Producto — ejemplo d/dx [x² · eˣ] = 2x·eˣ + x²·eˣ = (2x + x²)eˣ

⛓ Regla de la Cadena

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x) → "derivada de fuera × derivada de dentro"

¿Cuando usarla? Siempre que haya una funcion dentro de otra: exp(algo), sin(algo), (algo)ⁿ

Ejemplos d/dx [e^(-x²)] = e^(-x²) · (-2x)
d/dx [sin(3x)] = cos(3x) · 3
d/dx [(x²+1)⁵] = 5(x²+1)⁴ · 2x
d/dx [ln(sin(x))] = cos(x)/sin(x)

Identificar f y g e^(-x²) → f(u) = eᵘ, g(x) = -x²
sin(3x) → f(u) = sin(u), g(x) = 3x
(x²+1)⁵ → f(u) = u⁵, g(x) = x²+1
ln(sin(x)) → f(u) = ln(u), g(x) = sin(x)

∂ Derivadas Parciales

Derivar respecto a una variable, las demas son constantes.

Ejemplo: f(x,y) = x²y + e^(xy) ∂f/∂x = 2xy + y·e^(xy)
∂f/∂y = x² + x·e^(xy)

Ejemplo: ψ(x,t) = A·sin(kx - ωt) ∂ψ/∂x = Ak·cos(kx - ωt)
∂ψ/∂t = -Aω·cos(kx - ωt)

ψ Derivadas clave en Fisica Cuantica

Estas combinaciones aparecen constantemente. Memorizar para ganar velocidad.

d/dx [e^(ikx)]=ik · e^(ikx)onda plana

d/dt [e^(i(kx-ωt))]=-iω · e^(i(kx-ωt))onda plana

d/dx [e^(-x²/2)]=-x · e^(-x²/2)gaussiana

d/dx [x · e^(-x)]=(1-x) · e^(-x)hidrogeno

d²/dx² [e^(ikx)]=-k² · e^(ikx)Schrodinger

d²/dx² [sin(nπx/L)]=-(nπ/L)² sin(nπx/L)caja

d/dx [xⁿ · e^(-αx)]=(nxⁿ⁻¹ - αxⁿ)e^(-αx)radiales

d/dx [e^(-αr²)]=-2αr · e^(-αr²)oscilador

¿Por que importan? El operador momento es p̂ = -iℏ d/dx → aplicado a e^(ikx) da ℏk · e^(ikx)
El operador energia cinetica usa d²/dx² → por eso la segunda derivada aparece en Schrodinger