Integrales Impropias

∞ Tipo 1 — Intervalo infinito

El limite de integracion es ±∞

∫[a,∞) f(x) dx = lim(b→∞) ∫[a,b] f(x) dx

∫(-∞,b] f(x) dx = lim(a→-∞) ∫[a,b] f(x) dx

∫(-∞,∞) f(x) dx = ∫(-∞,c] f(x) dx + ∫[c,∞) f(x) dx
partir en dos, ambas deben converger

Ejemplo — Converge ∫[1,∞) 1/x² dx = lim(b→∞) [-1/x] de 1 a b
= lim(b→∞) (-1/b + 1) = 1 ✓

Ejemplo — Diverge ∫[1,∞) 1/x dx = lim(b→∞) [ln(x)] de 1 a b
= lim(b→∞) ln(b) = ∞ ✗

Ejemplo — Exponencial ∫[0,∞) e^(-x) dx = lim(b→∞) [-e^(-x)] de 0 a b
= lim(b→∞) (-e^(-b) + 1) = 1 ✓

! Tipo 2 — Singularidad en el integrando

La funcion se va a ±∞ en algun punto del intervalo

Si f(x) explota en x = a:
∫[a,b] f(x) dx = lim(ε→0⁺) ∫[a+ε, b] f(x) dx

Si f(x) explota en x = b:
∫[a,b] f(x) dx = lim(ε→0⁺) ∫[a, b-ε] f(x) dx

Si explota en x = c con a < c < b:
partir en ∫[a,c] + ∫[c,b], ambas como limites

Ejemplo — Converge ∫[0,1] 1/√x dx (explota en x=0)
= lim(ε→0⁺) [2√x] de ε a 1
= lim(ε→0⁺) (2 - 2√ε) = 2 ✓

Ejemplo — Diverge ∫[0,1] 1/x dx (explota en x=0)
= lim(ε→0⁺) [ln(x)] de ε a 1
= lim(ε→0⁺) (0 - ln(ε)) = ∞ ✗

Ejemplo — Singularidad interior ∫[-1,1] 1/x² dx (explota en x=0)
= ∫[-1,0] 1/x² dx + ∫[0,1] 1/x² dx
Ambas divergen → diverge ✗

⚡ Test rapido: ∫[1,∞) 1/xⁿ dx

La integral de referencia mas util. Memorizar:

∫[1,∞) 1/xⁿ dx → converge si n > 1 | diverge si n ≤ 1

n	∫[1,∞) 1/xⁿ dx	Resultado
3	∫ 1/x³ dx	1/2
2	∫ 1/x² dx	1
3/2	∫ 1/x^(3/2) dx	2
1	∫ 1/x dx	∞ (diverge)
1/2	∫ 1/√x dx	∞ (diverge)

¿Por que? Si n > 1: la primitiva es x^(1-n)/(1-n), y x^(1-n) → 0 cuando x → ∞
Si n = 1: la primitiva es ln(x) → ∞
Si n < 1: la primitiva es x^(1-n)/(1-n) → ∞

⚖ Criterios de comparacion

Cuando no puedes integrar explicitamente, compara con una que si conozcas.

Comparacion directa:
Si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ a:
∫g converge → ∫f converge
∫f diverge → ∫g diverge

Comparacion por limite:
Si lim(x→∞) f(x)/g(x) = L, con 0 < L < ∞:
entonces ∫f y ∫g hacen lo mismo
(ambas convergen o ambas divergen)

Ejemplo ¿Converge ∫[1,∞) 1/(x²+1) dx?
Comparo: 1/(x²+1) ≤ 1/x² para x ≥ 1
∫ 1/x² converge (n=2 > 1)
→ converge por comparacion directa

Ejemplo ¿Converge ∫[1,∞) (2x+3)/(x³-1) dx?
Para x grande se comporta como 2x/x³ = 2/x²
lim f(x)/(2/x²) = 1 (finito y no cero)
∫ 2/x² converge
→ converge por comparacion por limite

★ Resultados importantes — Memorizar

Exponenciales

∫[0,∞) e^(-ax) dx=1/aa > 0

∫[0,∞) x·e^(-ax) dx=1/a²a > 0

∫[0,∞) x²·e^(-ax) dx=2/a³a > 0

∫[0,∞) xⁿ·e^(-ax) dx=n!/aⁿ⁺¹funcion gamma

Gaussianas

∫[-∞,∞] e^(-αx²) dx=√(π/α)la reina

∫[0,∞) e^(-αx²) dx=(1/2)√(π/α)mitad

∫[0,∞) x·e^(-αx²) dx=1/(2α)

∫[0,∞) x²·e^(-αx²) dx=√π/(4α^(3/2))

Trigonometricas / Otras

∫[0,∞) sin(x)/x dx=π/2integral de Dirichlet

∫[0,∞) 1/(1+x²) dx=π/2arctan

∫(-∞,∞) 1/(1+x²) dx=π

Funcion Gamma Γ(n)

Γ(n) = ∫[0,∞) xⁿ⁻¹·e^(-x) dx
Γ(n+1) = n! para n entero
Γ(1/2) = √π

ψ ¿Donde aparecen en cuantica?

Normalizacion ∫[-∞,∞] |ψ(x)|² dx = 1

Toda funcion de onda normalizable es una integral impropia convergente. Si diverge, no es un estado fisico valido.

Valores esperados ⟨x⟩ = ∫[-∞,∞] ψ*·x·ψ dx
⟨x²⟩ = ∫[-∞,∞] ψ*·x²·ψ dx

Todas son integrales impropias de -∞ a ∞. Casi siempre convergen porque |ψ|² decae rapido.

Transformada de Fourier φ(k) = (1/√2π) ∫[-∞,∞] ψ(x)·e^(-ikx) dx

Conecta posicion ↔ momento. Es una integral impropia que converge si ψ es de cuadrado integrable.

Ejemplo concreto — Gaussiana ψ(x) = A·exp(-αx²)
∫[-∞,∞] |A|²·exp(-2αx²) dx = 1
|A|²·√(π/2α) = 1
A = (2α/π)^(1/4)

Ejemplo concreto — Hidrogeno (radial) ∫[0,∞) r²·|R(r)|² dr = 1
Para el estado 1s: R = 2(1/a₀)^(3/2)·e^(-r/a₀)
∫[0,∞) 4r²·(1/a₀³)·e^(-2r/a₀) dr = 1
Usa ∫[0,∞) xⁿ·e^(-ax) dx = n!/aⁿ⁺¹