Integrales — Cheatsheet

∫ Basicas y Potencias

∫ k dx=kx + Cconstante

∫ xⁿ dx=xⁿ⁺¹/(n+1) + Cn ≠ -1

∫ 1/x dx=ln|x| + C

∫ 1/x² dx=-1/x + C

∫ √x dx=(2/3)x^(3/2) + C

∫ 1/√x dx=2√x + C

E Exponenciales y Logaritmos

∫ eˣ dx=eˣ + C

∫ e^(ax) dx=e^(ax)/a + C

∫ aˣ dx=aˣ/ln(a) + C

∫ ln(x) dx=x·ln(x) - x + Cpor partes

∫ x·eˣ dx=eˣ(x - 1) + Cpor partes

∫ x²·eˣ dx=eˣ(x²-2x+2) + Cpartes ×2

T Trigonometricas

∫ sin(x) dx=-cos(x) + C

∫ cos(x) dx=sin(x) + C

∫ tan(x) dx=-ln|cos(x)| + C

∫ sec²(x) dx=tan(x) + C

∫ csc²(x) dx=-cot(x) + C

∫ sin²(x) dx=x/2 - sin(2x)/4 + Cidentidad

∫ cos²(x) dx=x/2 + sin(2x)/4 + Cidentidad

T⁻¹ Producen Trig. Inversas

∫ 1/√(1-x²) dx=arcsin(x) + C

∫ 1/(1+x²) dx=arctan(x) + C

∫ 1/(a²+x²) dx=(1/a)arctan(x/a) + C

∫ 1/√(a²-x²) dx=arcsin(x/a) + C

Truco Si ves 1/(a² + x²) → arctan. Si ves 1/√(a² - x²) → arcsin.

U Sustitucion (cambio de variable)

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du con u = g(x)

¿Cuando? Ves una funcion y su derivada (o proporcional) multiplicandose.

Ejemplos ∫ 2x·e^(x²) dx → u=x², du=2xdx → e^(x²) + C
∫ cos(x)·e^(sin(x)) dx → u=sin(x) → e^(sin(x)) + C
∫ x/(x²+1) dx → u=x²+1 → (1/2)ln(x²+1) + C

⊗ Integracion por Partes

∫ u dv = u·v - ∫ v du

Criterio LIATE para elegir u (prioridad ↓):

L-I-A-T-E L — Logaritmos: ln(x)
I — Inversas trig: arctan(x)
A — Algebraicas: x, x², polinomios
T — Trigonometricas: sin(x), cos(x)
E — Exponenciales: e^(x)
→ Lo mas arriba en la lista se elige como u

Ejemplo ∫ x·sin(x) dx → u=x, dv=sin(x)dx
= -x·cos(x) + ∫cos(x)dx = -x·cos(x) + sin(x) + C

F Fracciones Parciales

Para integrar P(x)/Q(x). Factorizar el denominador y descomponer:

Tipos de factores (x - a) → A/(x - a)
(x - a)² → A/(x-a) + B/(x-a)²
(x² + bx + c) → (Ax+B)/(x²+bx+c)

Ejemplo ∫ 1/((x-1)(x+1)) dx
= ∫ [1/2·1/(x-1) - 1/2·1/(x+1)] dx
= (1/2)ln|x-1| - (1/2)ln|x+1| + C

Receta: 1) Si grado P ≥ grado Q, dividir primero. 2) Factorizar Q. 3) Descomponer. 4) Hallar coeficientes (igualar o evaluar). 5) Integrar cada fraccion.

∞ Integrales Impropias

Intervalo infinito o singularidad en el integrando.

Tipo 1 — Intervalo infinito ∫[0,∞) e^(-x) dx = lim(b→∞) [-e^(-b)+1] = 1

Tipo 2 — Singularidad ∫[0,1] 1/√x dx = lim(ε→0⁺) [2√x] de ε a 1 = 2

Convergencia de ∫[1,∞) 1/xⁿ dx n > 1 → converge
n ≤ 1 → diverge

G Integral Gaussiana — La mas importante en cuantica

∫[-∞,∞] exp(-αx²) dx = √(π/α) (α > 0)

No tiene primitiva elemental. Se resuelve elevando al cuadrado y pasando a coordenadas polares.

Variantes fundamentales ∫[-∞,∞] x²·e^(-αx²) dx = √π/(2α^(3/2))
∫[0,∞] e^(-αx²) dx = (1/2)√(π/α)
∫[0,∞] x·e^(-αx²) dx = 1/(2α)
∫[0,∞] x²·e^(-αx²) dx = √π/(4α^(3/2))

Reglas de paridad ∫[-∞,∞] x^(2n+1)·e^(-αx²) dx = 0
funcion impar en intervalo simetrico

∫[-∞,∞] x^(2n)·e^(-αx²) dx = (2n-1)!!/(2α)ⁿ · √(π/α)
n!! = doble factorial

¿Donde aparece? Oscilador armonico, paquetes de onda, normalizacion, integral de caminos de Feynman, distribucion normal

ψ Integrales clave en Fisica Cuantica

Normalizacion

∫[-∞,∞] |ψ(x)|² dx=1

Ejemplo ψ = A·e^(-αx²) → |A|²·√(π/α) = 1
→ A = (α/π)^(1/4)

Valores esperados

⟨x⟩ = ∫ ψ*·x·ψ dx

⟨p⟩ = ∫ ψ*·(-iℏ d/dx)·ψ dx

Truco de paridad Si |ψ|² es par → ⟨x⟩ = 0
(integral de funcion impar en [-∞,∞])

Producto interno

⟨φ|ψ⟩ = ∫ φ*·ψ dx

Ortogonalidad ⟨φₙ|φₘ⟩ = 0 si n ≠ m
Base: ∫ sin(nπx/L)·sin(mπx/L) dx = 0

Fourier ψ(x) = (1/√2π) ∫ φ(k)·e^(ikx) dk
conecta posicion ↔ momento