Tecnicas de Integracion

¿Que ves en la integral?

Mira la estructura antes de lanzarte a calcular

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1 Sustitucion (cambio de variable)

¿Como detectarla?

Ves una funcion compuesta y la derivada de la parte interna esta multiplicando por fuera (o algo proporcional a ella).

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du
con u = g(x) y du = g'(x) dx

1 Identificar la parte interna complicada → esa es u

2 Derivar u para obtener du y comprobar que encaja con lo que hay fuera

3 Reescribir toda la integral en terminos de u (no puede quedar ninguna x)

4 Integrar en u

5 Volver a x sustituyendo u por su expresion original

Ejemplo 1 ∫ 2x · exp(x²) dx
u = x² → du = 2x dx
= ∫ exp(u) du
= exp(x²) + C

Ejemplo 2 ∫ cos(x) · exp(sin(x)) dx
u = sin(x) → du = cos(x) dx
= ∫ exp(u) du
= exp(sin(x)) + C

Ejemplo 3 ∫ x / (x² + 1) dx
u = x²+1 → du = 2x dx → x dx = du/2
= (1/2) ∫ 1/u du
= (1/2) ln(x²+1) + C

Ejemplo 4 — cuantica ∫ r² · exp(-αr³/3) dr
u = -αr³/3 → du = -αr² dr
= (-1/α) ∫ exp(u) du
= (-1/α) exp(-αr³/3) + C

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2 Integracion por Partes

¿Como detectarla?

Ves un producto de dos funciones de familias distintas (polinomio × exponencial, polinomio × trigonometrica, logaritmo × algo) y la sustitucion no funciona.

∫ u · dv = u · v − ∫ v · du
viene de invertir la regla del producto: d(uv) = u·dv + v·du

¿Que elijo como u? → Criterio LIATE (lo mas arriba en la lista = u)

L Logaritmos ln(x) ← u primero

I Inversas trig arctan(x)

A Algebraicas x, x², xⁿ

T Trigonometricas sin(x), cos(x)

E Exponenciales eˣ, e^(ax) ← dv primero

1 Elegir u y dv segun LIATE

2 Calcular du (derivar u) y v (integrar dv)

3 Aplicar la formula: u·v − ∫v·du

4 Resolver la nueva integral (si es mas sencilla, bien; si no, repetir)

Ejemplo 1 — Algebraica × Exponencial ∫ x · eˣ dx
u = x → du = dx
dv = eˣdx → v = eˣ
= x·eˣ − ∫ eˣ dx
= eˣ(x − 1) + C

Ejemplo 2 — Algebraica × Trigonometrica ∫ x · sin(x) dx
u = x → du = dx
dv = sin(x)dx → v = -cos(x)
= -x·cos(x) + ∫ cos(x) dx
= -x·cos(x) + sin(x) + C

Ejemplo 3 — Logaritmo ∫ ln(x) · 1 dx
u = ln(x) → du = dx/x
dv = dx → v = x
= x·ln(x) − ∫ x·(1/x) dx
= x·ln(x) − x + C

Ejemplo 4 — Partes ×2 (cuantica) ∫ x² · e^(-αx) dx
Partes 2 veces: cada vez baja el grado
x² → 2x → 2 → 0
= -e^(-αx)(x²/α + 2x/α² + 2/α³) + C

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3 Fracciones Parciales

¿Como detectarla?

Ves un cociente de polinomios P(x)/Q(x) donde el denominador se puede factorizar.

∫ P(x)/Q(x) dx → descomponer en fracciones simples → integrar cada una
cada fraccion simple se integra con ln o arctan

Segun el tipo de factor en Q(x):

Factor en Q(x)	Descompone en	Se integra como
(x − a)	A / (x − a)	A · ln\|x − a\|
(x − a)²	A/(x−a) + B/(x−a)²	A·ln\|x−a\| − B/(x−a)
(x² + bx + c) irreducible	(Ax + B) / (x² + bx + c)	ln + arctan completar el cuadrado

1 Comprobar grados: si grado P ≥ grado Q, hacer division polinomica primero

2 Factorizar Q(x) completamente

3 Plantear la descomposicion segun la tabla de arriba

4 Hallar coeficientes: multiplicar ambos lados por Q(x) y evaluar en puntos convenientes (las raices de Q)

5 Integrar cada fraccion por separado

Ejemplo 1 — Dos factores lineales ∫ 1 / ((x−1)(x+1)) dx
1/((x−1)(x+1)) = A/(x−1) + B/(x+1)
x=1: 1=2A → A=1/2
x=-1: 1=-2B → B=-1/2
= (1/2)ln|x−1| − (1/2)ln|x+1| + C

Ejemplo 2 — Factor repetido ∫ (2x+1) / x²(x+1) dx
= A/x + B/x² + C/(x+1)
Igualar coeficientes → A, B, C
Integrar cada termino:
= A·ln|x| − B/x + C·ln|x+1| + C

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Resumen rapido

Sustitucion
Ves f(g(x))·g'(x)
→ la derivada de dentro
esta multiplicando fuera

Por partes
Producto de familias
distintas (xⁿ·eˣ, x·sin)
→ LIATE para elegir u

Fracciones parciales
Cociente P(x)/Q(x)
→ factorizar denominador
→ descomponer e integrar

Si ninguna funciona: tablas, SymPy, o integral numerica. No pasa nada.