¿Qué es una derivada?
La idea central
Una derivada mide cómo cambia una función cuando cambia su variable. Es la tasa de cambio instantánea.
Imagina que conduces un coche. El cuentakilómetros marca la posición x(t) en función del tiempo. La derivada dx/dt es tu velocidad en cada instante: cuánto cambia tu posición por unidad de tiempo.
Definición formal
La derivada de f(x) se define como un límite:
f’(x) = lím(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
¿Qué dice esto? Tomas dos puntos de la función separados por h, calculas la pendiente de la recta que los une (f(x+h) - f(x))/h, y haces que h se acerque a cero. Lo que queda es la pendiente de la tangente en ese punto.
Interpretación geométrica
- La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
- Si f’(x) > 0, la función sube.
- Si f’(x) < 0, la función baja.
- Si f’(x) = 0, hay un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.
Reglas de derivación
| Regla | Fórmula | ¿Cuándo? |
|---|---|---|
| Potencia | d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹ | Siempre que haya xⁿ |
| Cadena | d/dx [f(g(x))] = f’(g(x)) · g’(x) | Función dentro de función |
| Producto | d/dx [f·g] = f’g + fg’ | Dos funciones multiplicadas |
| Cociente | d/dx [f/g] = (f’g - fg’) / g² | Una función dividida por otra |
Derivadas básicas más frecuentes
- d/dx [exp(x)] = exp(x)
- d/dx [sin(x)] = cos(x)
- d/dx [cos(x)] = -sin(x)
- d/dx [ln(x)] = 1/x
- d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹
Derivada parcial
Cuando una función depende de varias variables, como f(x, t), la derivada parcial respecto a una variable trata a las demás como constantes.
Ejemplo: si f(x, t) = 3x²t, entonces:
- ∂f/∂x = 6xt (t se trata como constante)
- ∂f/∂t = 3x² (x se trata como constante)
Derivada segunda
La derivada de la derivada. Mide cómo cambia la tasa de cambio, es decir, la curvatura.
- En física: si x(t) es posición, dx/dt es velocidad, y d²x/dt² es aceleración.
- Si f”(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba.
- Si f”(x) < 0, la función es cóncava hacia abajo.
¿Por qué importa en cuántica?
En mecánica cuántica la derivada aparece en los operadores fundamentales:
- Operador momento: p̂ = -iℏ ∂/∂x → derivar la función de onda respecto a x da información sobre el momento de la partícula.
- Ecuación de Schrödinger: tiene ∂ψ/∂t (cómo evoluciona el estado en el tiempo) y ∂²ψ/∂x² (cómo se curva la función de onda en el espacio).
Cada vez que derivamos exp(i(kx - ωt)) en los ejercicios, estábamos aplicando exactamente lo que hacen estos operadores: derivar respecto a x saca ik (momento), derivar respecto a t saca -iω (energía).