Ejercicio 1 — Calentamiento derivadas
Enunciado
Calcula estas derivadas:
(a) d/dx [x · exp(-x²/2)]
(b) d/dx [sin(kx) · exp(-αx)]
(c) ∂/∂x [A · exp(i(kx - ωt))] — la onda plana, la verás miles de veces
Resolución
(a) d/dx [x · exp(-x²/2)]
Regla del producto con f = x, g = exp(-x²/2):
- f’ = 1
- g’ = -x · exp(-x²/2) (cadena: derivada de -x²/2 es -x)
d/dx [x · exp(-x²/2)] = 1 · exp(-x²/2) + x · (-x) · exp(-x²/2)
= (1 - x²) · exp(-x²/2)
(b) d/dx [sin(kx) · exp(-αx)]
Regla del producto con f = sin(kx), g = exp(-αx):
- f’ = k·cos(kx)
- g’ = -α·exp(-αx)
d/dx [sin(kx) · exp(-αx)] = k·cos(kx)·exp(-αx) + sin(kx)·(-α)·exp(-αx)
= exp(-αx) · [k·cos(kx) - α·sin(kx)]
(c) ∂/∂x [A · exp(i(kx - ωt))]
A, k, ω son constantes. t se trata como constante (derivada parcial respecto a x).
La derivada de i(kx - ωt) respecto a x es ik.
∂/∂x [A · exp(i(kx - ωt))] = A · ik · exp(i(kx - ωt))
= ik · A · exp(i(kx - ωt))
Es decir: derivar la onda plana respecto a x multiplica por ik.
Aprendizaje
- En (a) el error típico es olvidar el x² y escribir (1 - x) en vez de (1 - x²).
- En (c) la derivada de la exponencial compleja simplemente saca el factor ik. Este patrón es la base del operador momento p = -iℏ ∂/∂x.