¿Qué es una integral?

La idea central

Si la derivada mide cómo cambia una función, la integral hace lo contrario: acumula. Suma infinitos trocitos infinitamente pequeños.

La integral es a la suma lo que la derivada es a la resta.

Ejemplo: si v(t) es tu velocidad en cada instante, la integral ∫v(t)dt te da la distancia recorrida. Estás sumando todos los pedacitos de distancia v·dt a lo largo del tiempo.

Definición geométrica

La integral definida de f(x) entre a y b:

∫[a,b] f(x) dx

es el área bajo la curva f(x) entre x = a y x = b. Si f(x) es negativa, el área cuenta como negativa.

Integral indefinida vs definida

Indefinida: ∫f(x)dx = F(x) + C → una familia de funciones cuya derivada es f(x). La C es una constante arbitraria.
Definida: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) → un número concreto. Se evalúa la primitiva en los extremos y se restan.

La conexión entre ambas es el Teorema Fundamental del Cálculo: si F’(x) = f(x), entonces ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a). Es decir, integrar y derivar son operaciones inversas.

Integrales básicas más frecuentes

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫1/x dx = ln|x| + C
∫exp(x) dx = exp(x) + C
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫exp(ax) dx = exp(ax)/a + C

Técnicas de integración

1. Sustitución (cambio de variable)

Es la inversa de la regla de la cadena. Cuando ves una función compuesta, sustituyes la parte interna por una nueva variable.

Receta:

Identificar una parte interna g(x) y llamarla u = g(x)
Calcular du = g’(x)dx
Reescribir todo en términos de u
Integrar en u
Volver a x

Ejemplo: ∫2x · exp(x²) dx

u = x², entonces du = 2x dx
La integral queda ∫exp(u) du = exp(u) + C = exp(x²) + C

Cuándo usarla: Cuando ves una función y su derivada (o algo proporcional) multiplicándose.

2. Integración por partes

Es la inversa de la regla del producto. Parte de d(uv) = u·dv + v·du, y reorganiza:

∫u dv = u·v - ∫v du

Receta:

Elegir qué parte es u y qué parte es dv
Calcular du (derivar u) y v (integrar dv)
Aplicar la fórmula

Criterio LIATE para elegir u (de mayor a menor prioridad):

L: Logaritmos (ln x)
I: Inversas trigonométricas (arctan x)
A: Algebraicas (x, x², polinomios)
T: Trigonométricas (sin x, cos x)
E: Exponenciales (exp(x))

Lo que esté más arriba en la lista se elige como u.

Ejemplo: ∫x · exp(x) dx

u = x (algebraica), dv = exp(x)dx
du = dx, v = exp(x)
= x·exp(x) - ∫exp(x) dx = x·exp(x) - exp(x) + C = exp(x)·(x - 1) + C

Cuándo usarla: Cuando tienes un producto de dos funciones de familias diferentes (polinomio × exponencial, polinomio × trigonométrica, etc.).

3. Fracciones parciales

Para integrar cocientes de polinomios P(x)/Q(x), se descompone en fracciones más sencillas.

Receta:

Si el grado de P ≥ grado de Q, hacer división polinómica primero
Factorizar Q(x)
Descomponer en fracciones parciales según los factores:
- Factor (x - a): genera A/(x - a)
- Factor (x - a)²: genera A/(x - a) + B/(x - a)²
- Factor (x² + bx + c) irreducible: genera (Ax + B)/(x² + bx + c)
Encontrar los coeficientes (igualando o evaluando en puntos convenientes)
Integrar cada fracción por separado

Ejemplo: ∫1/(x² - 1) dx = ∫1/((x-1)(x+1)) dx

Descomponer: 1/((x-1)(x+1)) = A/(x-1) + B/(x+1)
Multiplicar por (x-1)(x+1): 1 = A(x+1) + B(x-1)
x = 1: 1 = 2A → A = 1/2
x = -1: 1 = -2B → B = -1/2
∫[1/2·1/(x-1) - 1/2·1/(x+1)] dx = (1/2)ln|x-1| - (1/2)ln|x+1| + C

Cuándo usarla: Cuando tienes un cociente de polinomios y el denominador se puede factorizar.

Integrales impropias

Son integrales donde el intervalo es infinito o la función tiene una singularidad.

Tipo 1 — Intervalo infinito:

∫[0,∞) exp(-x) dx = lím(b→∞) ∫[0,b] exp(-x) dx = lím(b→∞) [-exp(-b) + exp(0)] = 1

Si el límite existe y es finito, la integral converge. Si no, diverge.

Tipo 2 — Singularidad en el integrando:

∫[0,1] 1/√x dx = lím(ε→0⁺) ∫[ε,1] x⁻¹/² dx = lím(ε→0⁺) [2√x] de ε a 1 = 2

Criterio rápido de convergencia para ∫[1,∞) 1/xⁿ dx:

Converge si n > 1
Diverge si n ≤ 1

En cuántica aparecen constantemente. Toda función de onda normalizable cumple ∫[-∞,∞] |ψ(x)|² dx = 1, que es una integral impropia convergente.

La integral gaussiana

Es probablemente la integral más importante en toda la física cuántica:

∫[-∞,∞] exp(-αx²) dx = √(π/α) (con α > 0)

Esta integral no se puede resolver con técnicas elementales (no existe una primitiva en términos de funciones conocidas). Se resuelve con un truco: elevar al cuadrado y pasar a coordenadas polares.

¿Por qué es tan importante?

La función de onda del oscilador armónico es una gaussiana.
Los paquetes de onda suelen ser gaussianos.
La distribución de probabilidad más natural (distribución normal) es una gaussiana.
La integral de caminos de Feynman se reduce a integrales gaussianas en muchos casos.

Variantes útiles (todas se derivan de la anterior):

∫[-∞,∞] x² · exp(-αx²) dx = √π / (2α^(3/2))

∫[-∞,∞] x²ⁿ · exp(-αx²) dx = (2n-1)!! / (2α)ⁿ · √(π/α)

∫[-∞,∞] x²ⁿ⁺¹ · exp(-αx²) dx = 0 (función impar en intervalo simétrico)

∫[0,∞] exp(-αx²) dx = (1/2)√(π/α) (mitad de la gaussiana completa)

Series de Taylor

Cualquier función “bien comportada” se puede escribir como una suma infinita de potencias de x alrededor de un punto a:

f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f”(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + …

f(x) = Σ[n=0,∞] f⁽ⁿ⁾(a) · (x-a)ⁿ / n!

Cuando a = 0 se llama serie de Maclaurin.

Series más importantes:

exp(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … = Σ xⁿ/n!

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - … = Σ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - … = Σ (-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!

1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + … (para |x| < 1)

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - … (para |x| ≤ 1)

¿Para qué sirven en física?

Aproximar: Cuando x es pequeño, exp(x) ≈ 1 + x. Esto simplifica enormemente cálculos. En cuántica se usa constantemente para expandir perturbaciones pequeñas.
Definir funciones de operadores: La exponencial de un operador e^(iĤt/ℏ) se define literalmente por su serie de Taylor.
Conectar funciones: La serie de exp(ix) = cos(x) + i·sin(x) es la fórmula de Euler, que sale de comparar las tres series.

Conexión derivadas ↔ integrales en cuántica

En los ejercicios de derivadas vimos que derivar la onda plana exp(i(kx - ωt)) saca factores:

∂/∂x saca ik → operador momento
∂/∂t saca -iω → operador energía

Las integrales hacen el camino inverso y aparecen en:

Normalización: ∫|ψ|² dx = 1
Valores esperados: ⟨x⟩ = ∫ψ* · x · ψ dx
Productos internos: ⟨φ|ψ⟩ = ∫φ* · ψ dx
Transformada de Fourier: conectar representación en posición y en momento

Si las derivadas son las herramientas para extraer información de ψ, las integrales son las herramientas para calcular predicciones con ψ.