Ejercicio 5 — Integrales (tanda 2 de 4)
Enunciado
Resuelve las 5 integrales.
Sustitución
(6) ∫ x² · e^(x³) dx
Por partes
(7) ∫ x · sin(x) dx
(8) ∫ x² · e^(x) dx
Fracciones parciales
(9) ∫ 1 / (x² - 4) dx
Integral definida
(10) ∫[0,∞) e^(-2x) dx
Soluciones
(6) ∫ x² · e^(x³) dx
Sustitución: u = x³, du = 3x² dx → x² dx = du/3
∫ e^(u) · du/3 = e^(u)/3 + C
= e^(x³)/3 + C
(7) ∫ x · sin(x) dx
Por partes (LIATE: x es A, sin es T → u = x):
- u = x → du = dx
- dv = sin(x) dx → v = -cos(x)
= x·(-cos(x)) - ∫(-cos(x)) dx
= -x·cos(x) + ∫cos(x) dx
= -x·cos(x) + sin(x) + C
(8) ∫ x² · e^(x) dx
Por partes dos veces (cada vez baja el grado del polinomio):
Primera vez:
- u = x² → du = 2x dx
- dv = eˣ dx → v = eˣ
= x²·eˣ - ∫2x·eˣ dx
Segunda vez (para ∫2x·eˣ dx):
- u = 2x → du = 2 dx
- dv = eˣ dx → v = eˣ
= x²·eˣ - [2x·eˣ - ∫2·eˣ dx]
= x²·eˣ - 2x·eˣ + 2eˣ + C
= eˣ·(x² - 2x + 2) + C
(9) ∫ 1 / (x² - 4) dx
Factorizar: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Descomponer: 1/((x-2)(x+2)) = A/(x-2) + B/(x+2)
Multiplicar por (x-2)(x+2): 1 = A(x+2) + B(x-2)
- x = 2: 1 = 4A → A = 1/4
- x = -2: 1 = -4B → B = -1/4
∫ [1/4 · 1/(x-2) - 1/4 · 1/(x+2)] dx
= (1/4)·ln|x-2| - (1/4)·ln|x+2| + C
O equivalentemente: (1/4)·ln|(x-2)/(x+2)| + C
(10) ∫[0,∞) e^(-2x) dx
Integral impropia tipo 1:
= lim(b→∞) ∫[0,b] e^(-2x) dx
= lim(b→∞) [-e^(-2x)/2] de 0 a b
= lim(b→∞) (-e^(-2b)/2 + e^(0)/2)
= 0 + 1/2
= 1/2
Converge. Caso particular de ∫[0,∞) e^(-ax) dx = 1/a con a = 2.