Ejercicio 2 — Derivadas segundas (necesarias para Schrödinger)

Enunciado

La ecuación de Schrödinger tiene ∂²ψ/∂x², así que hay que dominar derivadas segundas.

Calcula:

(a) d²/dx² [exp(-αx²)]

(b) d²/dx² [A · sin(nπx/L)]

Primera derivada:

d/dx [exp(-αx²)] = -2αx · exp(-αx²)

Segunda derivada (producto de f = -2αx y g = exp(-αx²)):

d²/dx² [exp(-αx²)] = -2α · exp(-αx²) + (-2αx)(-2αx) · exp(-αx²)

= exp(-αx²) · (4α²x² - 2α)

Primera derivada:

d/dx [A · sin(nπx/L)] = A · (nπ/L) · cos(nπx/L)

Segunda derivada:

d²/dx² [A · sin(nπx/L)] = A · (nπ/L) · (-nπ/L) · sin(nπx/L)

= -(nπ/L)² · A · sin(nπx/L)

Primera derivada:

∂/∂x [A · exp(i(kx - ωt))] = ik · A · exp(i(kx - ωt))

Segunda derivada (sale otro factor ik):

∂²/∂x² [A · exp(i(kx - ωt))] = (ik)² · A · exp(i(kx - ωt))

= -k² · A · exp(i(kx - ωt))

En (a) aparece el patrón del oscilador armónico cuántico: la gaussiana genera un polinomio multiplicando a la propia gaussiana.
En (b) y (c) la segunda derivada devuelve la función original multiplicada por una constante negativa. Esto significa que son autofunciones del operador d²/dx². Este concepto es central en cuántica: la ecuación de Schrödinger busca precisamente autofunciones del hamiltoniano.