Ejercicio 3 — Batería de derivadas
Enunciado
Resuelve las 10 derivadas. Están ordenadas de menor a mayor dificultad.
Primeras derivadas — regla de la cadena
(1) d/dx [exp(-x/a)]
(2) d/dx [cos(2πx/λ)]
Primeras derivadas — regla del producto
(3) d/dx [x³ · exp(-x)]
(4) d/dx [x · sin(kx)]
(5) d/dx [exp(-αx) · cos(βx)]
Derivadas parciales
(6) ∂/∂t [A · exp(i(kx - ωt))]
(7) ∂/∂r [e² / (4πε₀r)] (potencial coulombiano, e y ε₀ constantes)
Derivadas segundas
(8) d²/dx² [A · sin(kx) + B · cos(kx)]
(9) d²/dx² [x · exp(-αx)]
(10) ∂²/∂t² [A · exp(i(kx - ωt))]
Soluciones
(1) d/dx [exp(-x/a)]
Cadena: derivada de -x/a es -1/a.
= (-1/a) · exp(-x/a)
(2) d/dx [cos(2πx/λ)]
Cadena: derivada del coseno es menos seno, derivada interna 2π/λ.
= -(2π/λ) · sin(2πx/λ)
(3) d/dx [x³ · exp(-x)]
Producto con f = x³, g = exp(-x):
= 3x² · exp(-x) + x³ · (-exp(-x))
= exp(-x) · (3x² - x³)
Caso particular de la regla xⁿ·exp(-x) → (nxⁿ⁻¹ - xⁿ)exp(-x) con n=3.
(4) d/dx [x · sin(kx)]
Producto con f = x, g = sin(kx):
= 1 · sin(kx) + x · k·cos(kx)
= sin(kx) + kx·cos(kx)
(5) d/dx [exp(-αx) · cos(βx)]
Producto con f = exp(-αx), g = cos(βx):
= -α·exp(-αx)·cos(βx) + exp(-αx)·(-β·sin(βx))
= exp(-αx) · [-α·cos(βx) - β·sin(βx)]
(6) ∂/∂t [A · exp(i(kx - ωt))]
Derivada parcial respecto a t. La derivada de i(kx - ωt) respecto a t es -iω.
= -iω · A · exp(i(kx - ωt))
Complemento del Ejercicio 1(c): derivar respecto a x saca ik, respecto a t saca -iω.
(7) ∂/∂r [e² / (4πε₀r)]
Reescribir como (e²/4πε₀) · r⁻¹. La derivada de r⁻¹ es -r⁻².
= -e² / (4πε₀r²)
Es la fuerza coulombiana (con signo): F = -dV/dr.
(8) d²/dx² [A · sin(kx) + B · cos(kx)]
Primera derivada: Ak·cos(kx) - Bk·sin(kx)
Segunda derivada: -Ak²·sin(kx) - Bk²·cos(kx)
= -k² · [A·sin(kx) + B·cos(kx)]
La combinación general de seno y coseno también es autofunción de d²/dx² con autovalor -k².
(9) d²/dx² [x · exp(-αx)]
Primera derivada (producto):
= exp(-αx) + x·(-α)·exp(-αx) = exp(-αx)·(1 - αx)
Segunda derivada (producto de (1 - αx) y exp(-αx)):
= -α·exp(-αx) + (1 - αx)·(-α)·exp(-αx)
= exp(-αx)·[-α - α + α²x]
= exp(-αx) · (α²x - 2α)
(10) ∂²/∂t² [A · exp(i(kx - ωt))]
Primera derivada: -iω · A · exp(i(kx - ωt))
Segunda derivada: (-iω)² · A · exp(i(kx - ωt))
= -ω² · A · exp(i(kx - ωt))
Mismo patrón que la segunda derivada en x: la onda plana es autofunción de ∂²/∂t² con autovalor -ω², y de ∂²/∂x² con autovalor -k². Esto lleva directamente a la relación de dispersión.
Aprendizaje
- (1)-(2): cadena pura, las más básicas.
- (3)-(5): producto con dos funciones que compiten (una crece/oscila, la otra decae).
- (6)-(7): derivadas parciales, conectan con física: (6) es la base de iℏ ∂ψ/∂t = Eψ y (7) da la fuerza coulombiana.
- (8)-(10): derivadas segundas, refuerzan el concepto de autofunción. Patrón clave: si d²f/dx² = -k²f, entonces f es solución de la ecuación de onda/Schrödinger.