Ejercicio 4 — Integrales (tanda 1 de 4)
Enunciado
Resuelve las 5 integrales. Ordenadas de menor a mayor dificultad.
Básicas
(1) ∫ x³ dx
(2) ∫ e^(-3x) dx
Sustitución
(3) ∫ 2x · (x² + 1)⁴ dx
(4) ∫ sin(x) · e^(cos(x)) dx
Por partes
(5) ∫ x · e^(-x) dx
Soluciones
(1) ∫ x³ dx
Potencia directa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
= x⁴/4 + C
(2) ∫ e^(-3x) dx
Exponencial con coeficiente: ∫e^(ax) dx = e^(ax)/a
= e^(-3x)/(-3) + C = -e^(-3x)/3 + C
(3) ∫ 2x · (x² + 1)⁴ dx
Sustitución: u = x² + 1, du = 2x dx
∫ u⁴ du = u⁵/5 + C
= (x² + 1)⁵ / 5 + C
(4) ∫ sin(x) · e^(cos(x)) dx
Sustitución: u = cos(x), du = -sin(x) dx → sin(x) dx = -du
∫ e^(u) · (-du) = -e^(u) + C
= -e^(cos(x)) + C
(5) ∫ x · e^(-x) dx
Por partes (LIATE: x es algebraica → u, e^(-x) es exponencial → dv):
- u = x → du = dx
- dv = e^(-x) dx → v = -e^(-x)
= x·(-e^(-x)) - ∫(-e^(-x)) dx
= -x·e^(-x) + ∫e^(-x) dx
= -x·e^(-x) - e^(-x) + C
= -e^(-x)·(x + 1) + C